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Preço de opções: modelo Black-Scholes.
A fórmula de Black-Scholes (também chamada Black-Scholes-Merton) foi o primeiro modelo amplamente utilizado para preços de opções. É usado para calcular o valor teórico das opções de estilo europeu usando os atuais preços das ações, dividendos esperados, preço de exercício da opção, taxas de juros esperadas, tempo de vencimento e volatilidade esperada.
A fórmula, desenvolvida por três economistas - Fischer Black, Myron Scholes e Robert Merton - é talvez o modelo de preços de opções mais conhecido do mundo. Foi introduzido em seu artigo de 1973, "O preço das opções e responsabilidades corporativas", publicado no Journal of Political Economy. Black faleceu dois anos antes de Scholes e Merton receberam o Prêmio Nobel de Economia de 1997 por seu trabalho na busca de um novo método para determinar o valor dos derivados (o Prêmio Nobel não é dado póstuma, no entanto, o comitê do Nobel reconheceu o papel de Black no Modelo Black-Scholes).
O modelo de Black-Scholes faz determinados pressupostos:
A opção é europeia e só pode ser exercida no vencimento. Nenhum dividendo é pago durante a vida da opção. Os mercados são eficientes (ou seja, os movimentos do mercado não podem ser previstos). Não há custos de transação na compra da opção. A taxa de risco e a volatilidade do subjacente são conhecidas e constantes. Os retornos sobre o subjacente são normalmente distribuídos.
Nota: Embora o modelo original de Black-Scholes não considerasse os efeitos dos dividendos pagos durante a vida da opção, o modelo é freqüentemente adaptado para contabilizar os dividendos, determinando o valor da data do dividendo do estoque subjacente.
Fórmula Black-Scholes.
A fórmula, mostrada na Figura 4, leva em consideração as seguintes variáveis:
as opções de preços subjacentes atuais atingem o tempo de preço até o vencimento, expresso em percentual de uma taxa de juros implícita de volatilidade implícita.
O modelo é essencialmente dividido em duas partes: a primeira parte, SN (d1), multiplica o preço pela variação do prémio de chamada em relação a uma alteração no preço subjacente. Esta parte da fórmula mostra o benefício esperado de comprar o subjacente definitivo. A segunda parte, N (d2) Ke - rt, fornece o valor atual de pagar o preço de exercício no vencimento (lembre-se, o modelo Black-Scholes aplica-se às opções européias que podem ser exercidas somente no dia do vencimento). O valor da opção é calculado tomando a diferença entre as duas partes, como mostrado na equação.
A matemática envolvida na fórmula é complicada e pode ser intimidante. Felizmente, você não precisa saber nem mesmo entender a matemática para usar o modelo Black-Scholes em suas próprias estratégias. Como mencionado anteriormente, os comerciantes de opções têm acesso a uma variedade de calculadoras de opções on-line e muitas das plataformas de negociação de hoje possuem ferramentas robustas de análise de opções, incluindo indicadores e planilhas que executam os cálculos e produzem os valores de preços das opções. Um exemplo de uma calculadora on-line Black-Scholes é mostrado na Figura 5. O usuário insere todas as cinco variáveis ​​(preço de operação, preço das ações, tempo (dias), volatilidade e taxa de juros livre de risco) e clica em "obter cotação" para exibir os resultados.

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Para opções sobre outros instrumentos financeiros do que ações, temos que permitir o fato de que o subjacente pode ter pagamentos durante a vida da opção. Por exemplo, ao trabalhar com as opções de commodities, geralmente há alguns custos de armazenamento se alguém quiser proteger a opção comprando o subjacente.
O caso mais simples é quando os pagamentos são feitos de forma contínua. Para valorar uma opção européia, é necessário um ajuste simples para a fórmula Black Scholes. Seja o pagamento contínuo da mercadoria subjacente.
Chamar e colocar preços para as opções europeias são fornecidos pela fórmula 8.1, que são implementadas no código 8.1.
O caso dos dividendos contínuos é mais fácil de lidar. Isso corresponde aos pagamentos contínuos que examinamos anteriormente. O problema é o fato de que a maioria dos dividendos são pagos em datas discretas.
Para ajustar o preço de uma opção europeia para dividendos conhecidos, simplesmente subtravemos o valor presente dos dividendos do preço atual do ativo subjacente no cálculo do valor de Black Scholes.
As opções americanas são muito mais difíceis de lidar do que as europeias. O problema é que pode ser ótimo usar (exercer) a opção antes do prazo final de validade. Essa política de exercício ideal afetará o valor da opção, e a política de exercícios precisa ser conhecida ao resolver o pde. Portanto, não há soluções analíticas gerais para opções americanas de chamadas e colocações. Existem alguns casos especiais. Para opções de chamadas americanas em ativos que não possuem pagamentos, o preço da chamada americana é o mesmo que o europeu, uma vez que a política de exercícios ideal é não exercer. Para a American Put, este não é o caso, pode pagar para exercê-los cedo. Quando o activo subjacente tem pagamentos, também pode pagar para exercer a opção antecipadamente. Existe um preço analítico conhecido conhecido para opções de chamadas americanas, que é o caso de uma chamada em um estoque que paga um dividendo conhecido, que é discutido em seguida. Em todos os outros casos, o preço americano deve ser aproximado usando uma das técnicas discutidas em capítulos posteriores: aproximação binomial, solução numérica da equação diferencial parcial ou outra aproximação numérica.
Quando uma ação paga dividendos, uma opção de compra no estoque pode ser exercida otimamente antes do estoque ser ex-dividendo. Embora o problema do dividendo geral geralmente seja aproximado de alguma forma, para o caso especial de um pagamento de dividendos durante a vida de uma opção, uma solução analítica está disponível, devido à Roll-Geske-Whaley.
Se permitimos que seja o preço das ações, o preço de exercício, o valor do dividendo pago, o momento do pagamento do dividendo, a data de vencimento da opção, encontramos.
O tempo de pagamento de dividendos e o prazo de vencimento.
Uma primeira verificação do exercício inicial é:
Se essa desigualdade for cumprida, o exercício inicial não é ótimo e o valor da opção é.
onde é a fórmula regular de Black Scholes.
Se a desigualdade não for cumprida, um executa o cálculo mostrado na fórmula 8.2 e implementado no código 8.3.
Opções sobre futuros.
Para uma opção europeia escrita em um contrato de futuros, usamos um ajuste da solução Black Scholes, que foi desenvolvida em Black (1976). Essencialmente, substituímos na fórmula Black Scholes e obtenha a fórmula mostrada em 8.3 e implementada no código 8.4.
Opções de moeda estrangeira.
Outro ajuste relativamente simples da fórmula Black Scholes ocorre quando o título subjacente é uma taxa de câmbio (taxa spot). Neste caso, ajusta-se a equação de Black-Scholes para o diferencial de taxa de juros.
Seja a taxa de câmbio à vista e agora seja a taxa de juros doméstica e a taxa de juros estrangeira. é então a volatilidade das mudanças na taxa de câmbio. O cálculo do preço de uma opção de chamada europeia é então mostrado na fórmula 8.4 e implantado no código 8.5.
Uma opção perpétua é uma sem data de vencimento, é vivida ininterruptamente. Claro, apenas as opções perpétuas americanas fazem sentido, as opções perpétuas europeias provavelmente seriam difíceis de vender. 8. 1 Para as fórmulas analíticas de colocações e chamadas foi desenvolvida. Consideramos o preço de uma chamada americana e discutimos a colocação de um exercício. A Fórmula 8.5 dá a solução analítica.
Uma primeira formulação de um preço analítico de chamadas com dividendos foi em Roll (1977). Isso teve alguns erros, que foram parcialmente corrigidos em Geske (1979), antes de Whaley (1981) dar uma fórmula final e correta. Veja Hull (2003) para obter um resumo de livros didáticos.
Black (1976) é o desenvolvimento original da opção de futuros.
As formulações originais dos preços das opções da moeda estrangeira europeia estão em Garman e Kohlhagen (1983) e Grabbe (1983).
O preço de um put perpétuo foi mostrado pela primeira vez em Merton (1973). Para uma chamada perpétua, veja McDonald e Siegel (1986). A notação aqui segue o resumo em (McDonald, 2002, pg. 393).

Black-Scholes Excel Formulas e como criar uma planilha de preços de opções simples.
Esta página é um guia para criar sua própria tabela de cálculo de preços de opções, de acordo com o modelo Black-Scholes (prorrogado para dividendos pela Merton). Aqui você pode obter uma calculadora pré-fabricada Black-Scholes Excel com gráficos e recursos adicionais, como cálculos de parâmetros e simulações.
Black-Scholes no Excel: The Big Picture.
Se você não está familiarizado com o modelo Black-Scholes, seus parâmetros e (pelo menos a lógica de) as fórmulas, você pode querer ver esta página.
Abaixo vou mostrar-lhe como aplicar as fórmulas Black-Scholes no Excel e como juntá-las em uma planilha simples de preços de opções. Existem 4 etapas:
Designe células onde você entrará em parâmetros. Calcule d1 e d2. Calcule os preços das opções de compra e colocação. Calcule a opção Gregos.
Parâmetros Black-Scholes no Excel.
Primeiro você precisa projetar 6 células para os 6 parâmetros Black-Scholes. Ao avaliar uma determinada opção, você terá que inserir todos os parâmetros nessas células no formato correto. Os parâmetros e formatos são:
S 0 = preço subjacente (USD por ação)
X = preço de exercício (USD por ação)
R = Taxa de juros sem risco contínua (% p. a.)
q = rendimento de dividendo composto continuamente (% p. a.)
t = tempo de vencimento (% do ano)
O preço subjacente é o preço ao qual o título subjacente está sendo negociado no mercado no momento em que você está fazendo o preço da opção. Digite em dólares (ou euros / iene / libra etc.) por ação.
O preço de exercício, também chamado de preço de exercício, é o preço no qual você irá comprar (se for caso disso) ou vender (se colocar) o título subjacente se você optar por exercer a opção. Se você precisar de mais explicações, veja: Strike vs. Market Price vs. Underlying Price. Digite também em dólares por ação.
A volatilidade é o parâmetro mais difícil de estimar (todos os outros parâmetros são mais ou menos dados). É seu trabalho decidir quão alta volatilidade você espera e qual número entrar - nem o modelo de Black-Scholes, nem esta página irá dizer-lhe como a alta volatilidade esperada com sua opção particular. Ser capaz de estimar (= prever) a volatilidade com mais sucesso do que outras pessoas é a parte difícil e o fator chave que determina o sucesso ou o fracasso na negociação de opções. O importante aqui é inseri-lo no formato correto, que é% p. a. (percentual anualizado).
A taxa de juros livre de risco deve ser inserida em% p. a., agravado continuamente. O tenor da taxa de juros (prazo de vencimento) deve corresponder ao tempo de vencimento da opção que você está classificando. Você pode interpolar a curva de rendimento para obter a taxa de juros para o seu horário exato de expiração. A taxa de juros não afeta muito o preço da opção resultante no ambiente de baixo interesse, o que nós temos nos últimos anos, mas pode se tornar muito importante quando as taxas são mais altas.
O rendimento de dividendos também deve ser inserido em% p. a., composto continuamente. Se o estoque subjacente não pagar qualquer dividendo, digite zero. Se você estiver classificando uma opção em títulos que não sejam ações, você pode inserir a taxa de juros do segundo país (para opções de FX) ou o rendimento de conveniência (para commodities) aqui.
O tempo de vencimento deve ser inserido como% do ano entre o momento do preço (agora) e o vencimento da opção. Por exemplo, se a opção expirar em 24 dias de calendário, você entrará 24/365 = 6.58%. Alternativamente, você pode querer medir o tempo em dias de negociação em vez de dias de calendário. Se a opção expirar em 18 dias de negociação e há 252 dias de negociação por ano, você entrará no prazo de vencimento como 18/252 = 7.14%. Além disso, você também pode ser mais preciso e medir o tempo de expiração para horas ou até mesmo minutos. Em qualquer caso, você sempre deve expressar o tempo de vencimento em% do ano para que os cálculos devam retornar os resultados corretos.
Eu vou ilustrar os cálculos no exemplo abaixo. Os parâmetros estão nas células A44 (preço subjacente), B44 (preço de operação), C44 (volatilidade), D44 (taxa de juros), E44 (rendimento de dividendos) e G44 (prazo de vencimento em% do ano).
Nota: É a linha 44, porque estou usando a Calculadora Black-Scholes para capturas de tela. Você pode, naturalmente, começar na linha 1 ou organizar seus cálculos em uma coluna.
Black-Scholes d1 e d2 Excel Formulas.
Quando você possui as células com parâmetros prontos, o próximo passo é calcular d1 e d2, pois esses termos entram todos os cálculos de chamadas e colocam os preços das opções e os gregos. As fórmulas para d1 e d2 são:
Todas as operações nestas fórmulas são matemática relativamente simples. As únicas coisas que podem ser desconhecidas para alguns usuários de Excel menos esclarecidos são o logaritmo natural (função LN Excel) e raiz quadrada (função SQRT Excel).
O mais difícil na fórmula d1 é garantir que você coloque os suportes nos lugares certos. É por isso que você pode querer calcular partes individuais da fórmula em células separadas, como eu faço no exemplo abaixo:
Primeiro eu calculo o logaritmo natural da proporção do preço subjacente e do preço de exercício na célula H44:
Então eu calculo o resto do numerador da fórmula d1 na célula I44:
Então eu calculo o denominador da fórmula d1 na célula J44. É útil calcular isso separadamente, porque este termo também entrará na fórmula para d2:
Agora eu tenho todas as três partes da fórmula d1 e posso combiná-las na célula K44 para obter d1:
Finalmente, eu calculo d2 na célula L44:
Black-Scholes Option Price Excel Formulas.
As fórmulas Black-Scholes para opção de compra (C) e os preços de opção de venda (P) são:
As duas fórmulas são muito semelhantes. Existem quatro termos em cada fórmula. Eu voltarei a calculá-los em células separadas primeiro e, em seguida, combiná-los na chamada final e colocar fórmulas.
N (d1), N (d2), N (-d2), N (-d1)
As partes potencialmente desconhecidas das fórmulas são os termos N (d1), N (d2), N (-d2) e N (-d1). N (x) denota a função de distribuição cumulativa normal padrão & # 8211; por exemplo, N (d1) é a função de distribuição cumulativa normal normal para o d1 que você calculou na etapa anterior.
No Excel, você pode calcular facilmente as funções de distribuição cumulativa normal padrão usando a função NORM. DIST, que possui 4 parâmetros:
NORM. DIST (x, mean, standard_dev, cumulative)
x = link para a célula onde você calculou d1 ou d2 (com sinal de menos para - d1 e - d2) significa = insira 0, porque é a distribuição normal padrão standard_dev = enter 1, porque é normal distribuição normal cumulativa = digite TRUE , porque é cumulativa.
Por exemplo, eu calculo N (d1) na célula M44:
Nota: Também existe a função NORM. S.DIST no Excel, que é o mesmo que NORM. DIST com a média fixa = 0 e padrão_dev = 1 (portanto, você insere apenas dois parâmetros: x e cumulativo). Você pode usar qualquer um; Estou mais acostumado com o NORM. DIST, que oferece maior flexibilidade.
Os Termos com Funções Exponentes.
Os expoentes (termos e-qt e e-rt) são calculados usando a função EXP Excel com - qt ou - rt como parâmetro.
Eu calculo e-rt na célula Q44:
Então eu uso isso para calcular X e-rt na célula R44:
Analiticamente, eu calculo e-qt na célula S44:
Então eu uso isso para calcular S0 e-qt na célula T44:
Agora eu tenho todos os termos individuais e posso calcular a chamada final e colocar o preço da opção.
Black-Scholes Call Option Price no Excel.
Eu combino os 4 termos na fórmula de chamada para obter o preço da opção de chamada na célula U44:
Black-Scholes coloca o preço da opção no Excel.
Combino os 4 termos na fórmula de colocação para obter o preço da opção de venda na célula U44:
Black-Scholes Greeks Excel Formulas.
Aqui você pode continuar para a segunda parte, o que explica as fórmulas para delta, gamma, theta, vega e rho no Excel:
Ou você pode ver como todos os cálculos do Excel funcionam juntos na Calculadora Black-Scholes. Explicação dos outros recursos da calculadora (cálculos de parâmetros e simulações dos preços das opções e dos gregos) estão disponíveis no guia do usuário da calculadora # 8217; s.
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Para opções sobre outros instrumentos financeiros do que ações, temos que permitir o fato de que o subjacente pode ter pagamentos durante a vida da opção. Por exemplo, ao trabalhar com as opções de commodities, geralmente há alguns custos de armazenamento se alguém quiser proteger a opção comprando o subjacente.
O caso mais simples é quando os pagamentos são feitos de forma contínua. Para valorar uma opção européia, é necessário um ajuste simples para a fórmula Black Scholes. Seja o pagamento contínuo da mercadoria subjacente.
Chamar e colocar preços para as opções europeias são fornecidos pela fórmula 8.1, que são implementadas no código 8.1.
O caso dos dividendos contínuos é mais fácil de lidar. Isso corresponde aos pagamentos contínuos que examinamos anteriormente. O problema é o fato de que a maioria dos dividendos são pagos em datas discretas.
Para ajustar o preço de uma opção europeia para dividendos conhecidos, simplesmente subtravemos o valor presente dos dividendos do preço atual do ativo subjacente no cálculo do valor de Black Scholes.
As opções americanas são muito mais difíceis de lidar do que as europeias. O problema é que pode ser ótimo usar (exercer) a opção antes do prazo final de validade. Essa política de exercício ideal afetará o valor da opção, e a política de exercícios precisa ser conhecida ao resolver o pde. Portanto, não há soluções analíticas gerais para opções americanas de chamadas e colocações. Existem alguns casos especiais. Para opções de chamadas americanas em ativos que não possuem pagamentos, o preço da chamada americana é o mesmo que o europeu, uma vez que a política de exercícios ideal é não exercer. Para a American Put, este não é o caso, pode pagar para exercê-los cedo. Quando o activo subjacente tem pagamentos, também pode pagar para exercer a opção antecipadamente. Existe um preço analítico conhecido conhecido para opções de chamadas americanas, que é o caso de uma chamada em um estoque que paga um dividendo conhecido, que é discutido em seguida. Em todos os outros casos, o preço americano deve ser aproximado usando uma das técnicas discutidas em capítulos posteriores: aproximação binomial, solução numérica da equação diferencial parcial ou outra aproximação numérica.
Quando uma ação paga dividendos, uma opção de compra no estoque pode ser exercida otimamente antes do estoque ser ex-dividendo. Embora o problema do dividendo geral geralmente seja aproximado de alguma forma, para o caso especial de um pagamento de dividendos durante a vida de uma opção, uma solução analítica está disponível, devido à Roll-Geske-Whaley.
Se permitimos que seja o preço das ações, o preço de exercício, o valor do dividendo pago, o momento do pagamento do dividendo, a data de vencimento da opção, encontramos.
O tempo de pagamento de dividendos e o prazo de vencimento.
Uma primeira verificação do exercício inicial é:
Se essa desigualdade for cumprida, o exercício inicial não é ótimo e o valor da opção é.
onde é a fórmula regular de Black Scholes.
Se a desigualdade não for cumprida, um executa o cálculo mostrado na fórmula 8.2 e implementado no código 8.3.
Opções sobre futuros.
Para uma opção europeia escrita em um contrato de futuros, usamos um ajuste da solução Black Scholes, que foi desenvolvida em Black (1976). Essencialmente, substituímos na fórmula Black Scholes e obtenha a fórmula mostrada em 8.3 e implementada no código 8.4.
Opções de moeda estrangeira.
Outro ajuste relativamente simples da fórmula Black Scholes ocorre quando o título subjacente é uma taxa de câmbio (taxa spot). Neste caso, ajusta-se a equação de Black-Scholes para o diferencial de taxa de juros.
Seja a taxa de câmbio à vista e agora seja a taxa de juros doméstica e a taxa de juros estrangeira. é então a volatilidade das mudanças na taxa de câmbio. O cálculo do preço de uma opção de chamada europeia é então mostrado na fórmula 8.4 e implantado no código 8.5.
Uma opção perpétua é uma sem data de vencimento, é vivida ininterruptamente. Claro, apenas as opções perpétuas americanas fazem sentido, as opções perpétuas europeias provavelmente seriam difíceis de vender. 8. 1 Para as fórmulas analíticas de colocações e chamadas foi desenvolvida. Consideramos o preço de uma chamada americana e discutimos a colocação de um exercício. A Fórmula 8.5 dá a solução analítica.
Uma primeira formulação de um preço analítico de chamadas com dividendos foi em Roll (1977). Isso teve alguns erros, que foram parcialmente corrigidos em Geske (1979), antes de Whaley (1981) dar uma fórmula final e correta. Veja Hull (2003) para obter um resumo de livros didáticos.
Black (1976) é o desenvolvimento original da opção de futuros.
As formulações originais dos preços das opções da moeda estrangeira europeia estão em Garman e Kohlhagen (1983) e Grabbe (1983).
O preço de um put perpétuo foi mostrado pela primeira vez em Merton (1973). Para uma chamada perpétua, veja McDonald e Siegel (1986). A notação aqui segue o resumo em (McDonald, 2002, pg. 393).